2001年4月15日
刘徽——中国古代数学的奠基人

2001年4月15日，中国当代著名数学家陈省身和吴文俊共同提议，南开大学和天津大学联合成立刘徽应用数学研究中心。这个研究所以“刘徽”命名，以纪念这位中国古代数学伟大的奠基人。在研究会成立的当天，吴文俊先生亲自做了“介绍刘徽”的报告，由此推动了对刘徽数学成果的研究。

刘徽（图1）是三国时代的魏国人，祖籍山东邹平，生卒年不详，是中国古代最伟大的数学家之一，是中国古典数学理论的奠基者，也是一生不为官、具有纯粹数学独立精神的布衣学者。主要著作《九章算术注》和《海岛算经》是中国最宝贵的数学遗产，其内容反映了他在算术、代数、几何等方面的杰出贡献，这也奠定了刘徽在中国数学史上的不朽地位。

刘徽是最早主张用逻辑推理方法论证数学命题的人，也是中国第一个建立理论来推算圆周率的数学家。他的思想方法被后来的祖冲之发扬光大。由于他在数学领域的重大贡献，使得古代的中国数学水平处于当时世界的领先地位。

刘徽的《九章算术注》成书时间约在西汉年间，全书共有246个问题的解法，包括联立方程、分数的四则运算、正负数运算、几何图形的体积和面积计算等。这些问题及其解在当时都属世界先进之列。

在这本书中，刘徽首先引入极限思想，首创割圆术、十进分数、小数单位及“率”的思想，定义诸如幂、方程、正负数、十进小数等重要的数学概念，首先创立“析理以辞，解体以图”的数学研究风格。在对概念的定义、原理的应用与重要公式的证明中，他既有逻辑的推理，又有直观手段的运用，体现比较完整的数学体系。正由于数学思想的开创、数学方法的运用与数学风格的典范，使《九章算术注》对中国的古代数学发展影响达一千余年，成为东方数学典范之一，与古希腊欧几里得的《原本》所代表的古代西方数学体系交相辉映。

在开方数中，刘徽首创十进小数，用以表示平方根近似值。他从开方开不尽的角度论述无理方根存在，并创造用十进小数无限逼近的无理数方法，这一方法不仅促进十进小数表述无理数的方法，也用于圆周率的精确计算上，十进小数的用法在西方14世纪才出现，比刘徽晚千余年。

在几何方面，刘徽应用“出入相补”原理解决面积和体积问题，讨论勾股定理与解勾股形的计算原理，建立相似勾股形理论，发展勾股测量术等。最引人注意的是刘徽的“割圆术”研究，其中最为光辉的是在极限方法应用上。他首先提出圆的面积公式，是“半周半径相乘的积步”，即圆面积等于“半圆周长与半径之积”。这个公式的提出很不简单，他所给出的证明更为巧妙：他先做了一个10寸的圆，再做出内接正多边形，从6边形开始，依次做内接正12边、24边形……，共验证到3072边形。更为重要的是，在分割中，他丝毫没有“匠气”，而是明确认为“割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”。割圆术提出的本身就是创造性的，更重要的是这种精美的递推方法与其中所孕育的极限思想不仅在世界居于领先地位，也体现他无限趋近的数学思想。也正是这种数学思想与方法的运用，使他不仅推证出圆面积公式，也同时得到了圆周率的近似值为3927/1250，约为3.1416，这一值被后人称为“徽率”。这是古代数学求圆周率最简单，也是最正确的方法，这种方法奠定的基础，使祖冲之再求解达到小数点后的第七位，使中国在求圆周率计算中长期处于世界领先地位。

刘徽还以许多公认的判断结论作为证明的前提，这与数学的公理体系发展思路相一致。他的大多数推理、证明都十分严谨，合乎逻辑，使其数学体系形成一个独具特色，包括概念、判断，并以数学证明为联系纽带的理论体系，这些都是世界数学史上的卓越成就。

在《海岛算经》一书中，刘徽精心编制了九个测量问题，这九个问题都具有代表性。其中所运用的“类推衍化”法发展了“重差术”。所谓“重差”就是在测量很远、很高、很深、很广的事物时，利用二次测量法进行测量。刘徽不仅利用“类推衍化”的方法，还创造了“三望法”“四望法”，即是在数据不充足时，利用其他的参数反复核准，他的这一整套测量理论印度直到7世纪，欧洲直到15～16世纪才发展起来，其创造性、复杂性和代表性因在当时具有世界领先地位而为世界所瞩目。图2即为被国外资料引用的遥测图。

在刘徽所处的时代，数学工具极为粗陋和简单，仅有直尺、圆规、直角尺和测绳可用，但是刘徽的数学思想是非常先进的：他既提倡推理主义，又主张直观；既有精巧的方法，又有深邃的思想。他是我国最早明确主张用逻辑推理方式论证数学命题的人。他所创造的理论既简练，又实用，尤其是以直代圆的思想和极限方法的运用在古希腊几何中都难以找到。他的思想和著作被日本、美国、英国、法国、苏联、东德、丹麦等数学史学家所研究。刘徽的工作不仅对中国古代数学发展产生了深远的影响，在世界数学史上也具有崇高的地位。他的许多理论和计算方法，至今仍有借鉴的价值。

关键词：刘徽，《九章算术》，《海岛算经》，割圆术，Liu Hui，The Nine Chapter on the Mathematical Art，The Sea Island Mathematical Manual，Cyclotomy

图1：http://spaces.ac.cn/index.php/tag/%E8%B0%9C%E5%9B%A2/

图2：http://www.crt.com.cn/news2007/news/ZHR-W/1741411172EHFH64K26088170281JC.html