1.6　静电场

单项选择题（下列选项中，只有一项符合题意）

1．一半径为a和b（a<b）的同心导体球面间电位差为，若b固定，要使半径为a的球面上场强最小，则a与b的比值应为（　　）。[2009年真题]

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】同心导体球之间的电场分布呈辐射对称状，设内导体球所带电荷量为Q。根据高斯公式，球面上的电量为：。同心导体球面间电位差为：，则，令，将b视为常数，对a求偏导数，有，则。即因为b＞a，当b＝2a，E（a）有最小值。

2．已知一带电量为q=C的点电荷距离不接地金属球壳（其半径R=5cm）的球心1.5cm，则球壳表面的最大电场强度为（　　）。[2008年真题]

A．2.00×V/m

B．2.46×V/m

C．3.6×V/m

D．3.23×V/m

【答案】C

【解析】由高斯定律可得，在球壳表面所形成的闭合曲面上，电位移矢量的面积分等于该球面包围的自由电荷总量q，且，因此，电场强度为：。

3．在一个圆柱形电容器中，置有两层同轴的圆柱体，其内导体的半径为2cm，外导体的内半径为8cm，内外两绝缘层的厚度分别为2cm和4cm，内外导体间的电压为150V（以外导体为电位参考点）。设有一根薄的金属圆柱片放在两层绝缘体之间，为了使两层绝缘体内的最大场强相等，金属圆柱片的电位应为（　　）。[2007年真题]

A．100V

B．250V

C．667V

D．360V

【答案】A

【解析】设内层介质介电常数为ε₁，外层介质介电常数为ε₂，圆柱体的单位长度电荷量为τ。由高斯公式可得，内外层绝缘体的电场强度分别为：，。

要使两层介质最大场强相等，内层介质最大场强应出现在r₁=2cm处，外层介质最大场强应出现在r₂=4cm处，则有：，由此可知：，ε₁=2ε₂。

假设无穷远处电位为0，故内外导体之间的电压为：，所以金属圆柱的电位：。

4．一高压同轴圆柱电缆，内导体的半径为a，外导体的内半径为b，若b固定，要使内导体表面上场强最大，b与a的比值应该是下列何值（　　）。[2007年真题]

A．e

B．2

C．4

D．3

【答案】A

【解析】设τ为同轴电缆单位长度的带电量，根据高斯定理可知内外导体之间的电压为：，则。已知内导体表面场强为，令，令b为常数，对a求偏导数，令，此时f（a）取到最小值，则得到场强最大值。

5．两半径为a和b（a<b）的同心导体球面间电位差为V_o。问：若b固定，要使半径为a的球面上场强最小，a与b的比值应为下列何值？（　　）[2005年真题]

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】同心导体球之间的电场分布呈辐射对称状，设导体球所带电荷量为Q，根据高斯公式，球面上的电量为：。

同心导体球面间电位差为：，则，。令，将b视为常数，对a求偏导数，求极值点，，则当时电场强度取得最小值。

6．一圆柱形电容器，外导体的内半径为2cm，其间介质的击穿场强为200kV/cm，若其内导体的半径可以自由选择，则电容器能承受的最大电压为（　　）。[2014年真题]

A．284kV　

B．159kV　

C．252kV　

D．147kV

【答案】D

【解析】设内导体半径为a，则最大场强出现在r=a处，有，即，e=2.7183。设圆柱形电容器单位长度上带有电荷，则电容器两极板间的场强分布为：E=/（）。

极板间电压为：。介质中场强最大处在内柱面上，当这里场强达到时击穿，所以。令，有r=2/e，此时电容器可承受的最高电压为：kV。

7．真空中有一均匀带电球表面，半径为R，电荷总量为q，则球心处的电场强度大小为（　　）。[2013年真题]

A．

B．

C．

D．0

【答案】D

【解析】根据高斯定理，在任意闭合曲面上，电位移向量的面积积分恒等于该闭合曲面内所有自由电荷的代数和，已知带电球面的自由电荷只是分布在表面，内部没有自由电荷，因此球心处的电场强度为0。这种现象又称为静电屏蔽效应。带电球面的中心处电场强度为0。

8．无限长同轴圆柱面，半径分别为a和b（b>a），每单位长度上电荷：内柱为τ，而外柱为-τ，已知两圆柱面间的电介质为真空，则两带电圆柱面间的电压U为（　　）。[2009年真题]

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】同轴电缆的电场可以认为是平面辐射对称的，那么由高斯定理，设同轴圆柱长为l，D×2πr×l=τ×l，则，，两柱面间的电压为：。

9．如图1-6-1所示，有一夹角为的半无限大导电平板接地，其内有一点电荷q，若用镜像法计算其间的电荷分布，需镜像电荷的个数为（　　）。[2008年真题]

图1-6-1

A．12

B．11

C．6

D．3

【答案】B

【解析】镜像法是指保持待求场域电荷分布、边界条件和媒质不变的条件下，把边界上复杂分布电荷的作用，用待求场域外简单分布电荷来代替。如果无限大导电平板二面角的角度为，则总可以找到合适的镜像，而且镜像电荷个数为：。

本题中，=30°，代入公式得，镜像电荷个数为：。

10．介质为空气的一平板电容器，板间距离为d，与电压U连接时，两板间的相互作用力为f，断开电源后，将距离压缩到d/2，则两板间的相互作用力为（　　）。[2013年真题]

A．f

B．2f

C．4f

D．

【答案】A

【解析】法拉第认为，静电场中每一段电位移管沿其轴向要受到纵张力，而垂直于轴向方向则受到侧压力，并且纵张力和侧压力相等，都是。当板间距离为d时，C=εS/d，电场强度E=U/d，所以

；断开电源后，电容器的总电荷量保持不变，距离减小为d/2，则C=εS/=2（εS/d），电容增大为原来的两倍，因此极板间的电压变为1/2U，此时的作用力为：。

11．一根导线平行地放置于大地上方，其半径为1.5mm，长度为40m，轴心离地面5m，该导体对地面的电容为（　　）。[2014年真题]

A．126.3pF　

B．98.5pF　 

C．157.8pF 

D．252.6pF

【答案】D

【解析】设导线的单位长度电荷为，以地平面为电位参考点，，其中，b为等效电轴，，故导体对地面的电容大小为：

。

12．一理想的平板电容器，极板间距离为d，由直流电压源充电至电压，此时两极板间相互作用力f，后又断开电源断电后将极板间距离增大到3d，则两板相互作用力为（　　）。[2008年真题]

A．f/3

B．f

C．f/9

D．3f

【答案】B

【解析】由于电容器的总电荷量保持不变，静电场存储的能量大小为，采用虚位移法，计算两板之间的作用力为。从上述公式可以看出在电荷量保持不变的前提下，两板相互作用力大小和极板距离无关。所以两板相互作用力仍为f。

13．一高压同轴圆柱电缆，内导体的半径为a，外导体的内半径为b，若b固定，要使内导体表面上场强最强，a与b的比值应该为（　　）。[2008年真题]

A．1/e

B．1/2

C．1/4

D．1/8

【答案】A

【解析】同轴圆柱电缆的电场为辐射对称场，设电缆单位长度的电荷量为τ，根据高斯公式有：，则。所以内导体表面的电场强度为。令，令b为常数，对a求偏导数， 。则当时，内导体表面电场最强。

14．在真空中，电荷体密度为的电荷均匀分布在半径为a的整个球体积中，则在球体中心处的电场强度E为（　　）。（设球内的介电常数为）

A．

B．0

C．

D．

【答案】B

【解析】对于球体的电场强度，要分成球内球外计算：

①在球体外部，点P的电场强度为：，正电荷时方向为由球心到点P指向球外，负电荷时方向指向球内。

②在球体内，点P的电场强度为：。

③当处于球心时，r=0，故点P的电场强度为0。（注意球体和球面电场分布的区别）

15．在无限大真空中，有一半径为的导体球，离球心d（）处有一点电荷q ，该导体球的电位应为下列哪项数值？（　　）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】由高斯定理求得电荷q的电场强度表达式为：，则导体球距离电荷距离为d的电位表达式为：，由于导体球处于点电荷q的静电场中，自身为等电位体，所以导体球的电位为。

16．一无损耗同轴电缆，其内导体的半径，外导体的内半径为b，内外导体间媒质的磁导率为，介电常数为，该同轴电缆单位长度的外电感应为下列哪项数值？（　　）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】设内外导体流动的电流为I，由安培环路定律可得同轴电缆的磁感应强度为：，故内外导体间单位长度的外自感：。

也可直接代入同轴电缆的单位长度电感计算公式直接计算：（r₂为外导体内半径，r₁为内导体半径）。

17．在真空中，相距为的两无限大均匀带电平板，面电荷密度分别为＋σ和-σ，该两带电平板间的电位U应为下列哪项数值？（　　）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】设板A在两板间产生的场强大小为E₁，根据其对称性，其在两板外产生的场强亦为E₁，且方向相反。对板A取一截面积为s的圆柱形高斯面，根据静电场的高斯定理：，又：

，解得：。

同理设板B在两板间产生的场强大小为，可得：，E1、E2方向相反，故合场强为：，方向由B指向A，故两板间电势差为：。

18．图1-6-2所示，给平行板电容器加电压V₀，其极板上所受的电场力为（　　）。

A．

B．

C．

D．

图1-6-2

【答案】A

【解析】电容器储存的电场能量为：，利用虚位移法计算电场能对d的变化率即得极板受力为：（式中负号表明两极板彼此相吸引，力图使距离减小）。

19．图1-6-3中平板电容器的上部空间填充介电系数为ε₀的介质，所对应的极板面积为S₀，下部介质的介电系数为ε₁，所对应的极板面积为S₁，极板的间距为d，该电容器的电容量是（　　）。

A．

B．

C．

D．

图1-6-3

【答案】B

【解析】上下两部分可看成两个彼此相并联的电容，根据电容的并联公式有：C=C₀＋C₁=＋。

20．图1-6-4中电容器极板间的距离为d，极板面积为S，ε₀、ε₁介质厚度为d/2，则该电容器的电容应为（　　）。

A．

B．

C．

D．

图1-6-4

【答案】C

【解析】两介质交界面是等电位面，所以左右两部分可看成两个电容相串联，其中C₀=，C₁=，

根据电容的并联公式有:C= =。