3.3　拉压杆件的变形

3.3.1　绝对变形弹性模量

设一长度为l、横截面面积为A的等截面直杆，承受轴向载荷后，其长度变为l+△l，其中△l为杆的伸长量[见图3-6（a）]。实验结果表明：如果所施加的载荷使杆件的变形处于弹性范围内，杆的伸长量△l与杆所承受的轴向载荷成正比，如图3-6（b）所示。写成关系式为

这是描述弹性范围内杆件承受轴向载荷时力与变形的胡克定律（Hooke′slaw）。其中，FN为杆横截面上的轴力，当杆件只在两端承受轴向载荷FP作用时，FN=FP；E为杆材料的弹性模量，它与正应力具有相同的单位；EA称为杆件的拉伸（或压缩）刚度（tensile or compression rigidity）；式中“+”号表示伸长变形；“-”号表示缩短变形。

当拉、压杆有二个以上的外力作用时，需要先画出轴力图，然后按式（3-7）分段计算各段的变形，各段变形的代数和即为杆的总伸长量（或缩短量）

3.3.2　相对变形正应变

对于杆件沿长度方向均匀变形的情形，其相对伸长量表示轴向变形的程度，是这种情形下杆件的正应变

将式（3-7）代入式（3-9），考虑到σx=FN/A，得到

需要指出的是，上述关于正应变的表达式（3-9）只适用于杆件各处均匀变形的情形。对于各处变形不均匀的情形（见图3-7），则必须考察杆件上沿轴向的微段dx的变形，并以微段dx的相对变形作为杆件局部的变形程度。这时

可见，无论变形均匀还是不均匀，正应力与正应变之间的关系都是相同的。

3.3.3　横向变形与泊松比

杆件承受轴向载荷时，除了轴向变形外，在垂直于杆件轴线方向也同时产生变形，称为横向变形。图3-8所示为拉伸杆件表面一微元（如图3-8中虚线所示）的轴线和横向变形的情形。

实验结果表明，若在弹性范围内加载，轴向应变εx与横向应变εy之间存在下列关系

εy=-νεx　　（3-11）

式中：ν——材料的另一个弹性常数，称为泊松比（Poissonratio）。泊松比为无量纲量。

表3-1所示为几种常用金属材料的E、ν的数值。

【例题3-4】　如图3-9（a）所示，变截面直杆ADE段为铜制，EBC段为钢制；在A、D、B、C等4处承受轴向载荷。已知：ADEB段杆的横截面面积AAB=10×104mm2，BC段杆的横截面面积ABC=5×104mm2；FP=60kN；铜的弹性模量Ec=100GPa，钢的弹性模量Es=210GPa；各段杆的长度如图中所示，单位为mm。试求：直杆的总变形量ΔlAC。

解：1.作轴力图

由于直杆上作用有4个轴向载荷，而且AB段与BC段杆横截面面积不相等，为了确定直杆横截面上的最大正应力和杆的总变形量，必须首先确定各段杆的横截面上的轴力。

应用截面法可以确定AD、DEB、BC段杆横截面上的轴力分别为

FNAD=-2FP=-120kN

FNDE=FNEB=-FP=-60kN

FNBC=FP=60kN

于是，在FN-x坐标系可以画出轴力图，如图3-9（b）所示。

2.计算直杆的总变形量

直杆的总变形量等于各段杆变形量的代数和。根据式（3-8），有

=-1.2×10-5m-0.6×10-5m-0.286×10-5m+0.857×10-5m

=-1.229×10-5m=-1.229×10-2mm

上述计算中，DE和EB段杆的横截面面积以及轴力虽然都相同，但由于材料不同，所以需要分段计算变形量。