第1章绪论

1.1 混沌系统概述

1.1.1 混沌系统的发展

混沌，广泛地存在于自然界，产生于确定性系统，对初始条件极端敏感，类似于随机运动而且具有长期不可预测性。混沌揭示了自然界及人类社会中普遍存在的复杂性，是有序与无序的统一，确定性与随机性的统一，从而拓广了人们的视野，加深了人们对客观世界的认识。

19世纪中期，自然科学家首先讨论的混沌问题是热力学。众所周知，当达到热力学平衡时，系统内部中每一点的温度、压强、浓度、化学势等均无差别，处处相同，熵极大，即分子的混乱度极高。可见，热力学的平衡态实际上是一种传统意义上的混沌态。

现代科学意义上混沌的发现，可以追溯到19世纪末20世纪初，法国数学家Poincare在研究三体问题时遇到了混沌问题。发现三体问题，如太阳、月亮和地球三者的相对运动与单体问题、二体问题不同，它是无法求出精确解的。多年来这成了牛顿力学中遗留的难题，于是1903年Poincare在他的《科学与方法》一书中提出了庞加莱猜想。他把动力学系统和拓扑学有机地结合起来，并指出三体问题中，在一定范围内，其解是随机的。实际上这是一种保守系统中的混沌，从而他成为世界上最先了解混沌存在可能性的第一人。

1963年，美国著名气象学家、科学院院士Lorenz在研究气象的变化时，前后两次将偏差只为0.000127的数据输入计算机，结果令人诧异不已，前后两次的短期行为相差不多，但随着时间的推移，两次的长期行为却大相径庭，只是因为0.000127这个微小的初始值偏差，因此Lorenz认为长期的准确预报天气是不可能实现的^[1]。后来，Lorenz发表一篇名为“一只蝴蝶拍一下翅膀会不会在得克萨斯州引起龙卷风”的论文，文中指出即使某系统的初始条件只偏差一点点，结果会很不稳定，这种现象被他称作“蝴蝶效应”^[2]。后来他提出了天气预报的一种简化模型——Lorenz模型，为混沌学的发展奠定了深厚的理论基础，因此Lorenz被誉为“混沌之父”。1964年，法国天文学家Henon在研究星团和Lorenz吸引子的过程中受到启发，发现了Henon映射，建立了“热引力崩坍”这一理论体系，对几百年来一直未解决的太阳系稳定问题做出了合理解释。

1971年，法国物理学家Ruelle和荷兰学者Takens在“论湍流的本质”一文中，提出用混沌的概念来描述湍流形成机理的观点，引入了“奇怪吸引子”这一概念，并通过严格的数学理论分析，给出了“奇怪吸引子”与混沌运动的关系，开辟了一条混沌发展的新道路。1975年，美籍华人科学家李天岩和美国著名数学家Yorke发表了“周期三意味着混沌”一文，提出了著名的Li-Yorke定理^[3]，“混沌”一词，首次出现在科学文献中，并取得了人们的认可。1976年，美国生态学者May发表了名为“具有极复杂的动力学的简单数学模型”的文章^[4]，指出生态学领域中，一些确定性数学模型也能产生类似随机的行为，同年，法国天文学家Henon简化了Lorenz方程，得到了Henon二维映射，通过实验验证发现简单的平面映射也可以产生较为复杂的混沌运动，拓展了混沌学的研究范畴。1977年，意大利举行的第一次国际混沌大会标志着混沌科学的诞生。1978～1979年期间，Feigenbaum在May所研究的基础上发现了倍周期分叉过程中的普适常数和标度性，为混沌科学的发展奠定了坚实的基础。

20世纪80年代后，混沌的研究得到了更进一步的发展。1983年，美国加州大学的蔡少棠教授提出了一个结构简单、容易实现的三阶自治电路——Chua’s电路^[5]。该电路可以产生混沌现象，受到了广泛的关注和研究，成为最早经过严谨的理论说明和实验验证的混沌模型。1984年，我国科学院院士郝柏林编写的《混沌》一书在新加坡出版，为混沌科学的发展，尤其在亚洲地区的发展起到了一定的推动作用。1986年，我国在桂林召开第一次关于混沌研究的学术会议，使得混沌科学在中国的传播与研究有了更进一步的发展。1988年，美国SIAM（工业和应用数学）协会，发表了“控制理论未来的发展方向”一文，把混沌的控制作为未来一个极具潜力的研究方向。随后，陈关荣、吕金虎等人在对混沌的研究中发现了Chen系统、LV系统等。

混沌控制的研究起源于20世纪90年代，其重要标志是1990年美国马里兰州立大学的Ott、Grebogi和Yorke提出了一种抑制混沌的方法——参数微扰控制法（OGY方法），该方法的提出，不在于它自身能解决一个什么样的问题，而在于让人们从新的角度重新认识混沌，对初始条件的微小变化如此敏感、长期行为无法预测的类随机行为，竟然可以通过合适的策略、方法、途径进行控制，达到预期的目的^[6]。伴随着OGY方法的提出，社会各界掀起了研究混沌的浪潮。

20世纪90年代以后是混沌理论高速发展的年代，是混沌理论在众多领域被广泛研究和应用的时代。混沌理论与许多其他学科开始相互交叉被研究，如数学、物理学、化学、信息科学、电子学、气象学，甚至生物学、医学、美术等众多领域都可看到它广泛而深远的影响。诸如：基于混沌同步的保密通信和混沌信息技术，将在信息时代产生极大的影响；强流加速器驱动的放射性洁净核能系统，比常规核电更干净、更安全、更便宜；在生物医学工程中，混沌理论对探索生物复杂性、人脑奥秘、控制心脏系统等提供了新思路和新方法；混沌可以大大提高激光输出功率，并且改善激光性能，使激光应用范围更加广阔等^[7]。伴随着科学技术的进步，混沌与混沌控制在国防和国民经济领域也将展示出越来越大的应用潜力。

近年来，伴随着复杂网络研究的兴起，人们开始广泛关注网络结构的复杂性及其网络运行之间的关系。关于复杂网络的研究主要集中在复杂网络的特性、复杂网络的建模、网络动力学研究三个方面。其中对于复杂网络动力学的研究，特别是复杂网络的混沌同步研究正引起国内外学者极大的兴趣。

1.1.2 混沌系统的定义

混沌是一种普遍存在于从宏观到微观非线性系统（包括自然科学、社会科学几乎每一个分支）内在的无规则而不稳定的运动状态，尽管目前混沌引起学术界的广泛关注，但作为科学术语，至今仍没有被统一认可的定义，早在19世纪末，法国数学家Poincare就曾预言过混沌运动的一些行为，但由于条件的限制，他的预言并没有引起更多的注意。1963年混沌现象发现者之一，研究混沌理论的美国著名气象学家Lorenz指出，混沌系统是指敏感依赖于初始条件的内在变化的系统。1975年李天岩和Yorke首先提出了现代科学意义上为后续学者普遍接受的“混沌”概念，并给出了混沌的一种数学定义，即Li-Yorke定义。

【Li-Yorke定义】^[3]：设连续自映射f：I→I，I是中一个子空间，如果存在不可数集合SI满足：

1）S不包含周期点。

2）任何X₁，X₂∈S（X₁≠X₂），有

式中，f^t（·）=f（f（…f（·）））表示t重函数关系。

3）任给X₁∈S及f的任意周期点P∈I，有l，则称f在S上是混沌的。

这一定义所提出的“周期三意味着混沌”，实际上是原苏联学者Sarkovskii在1964年关于连续函数“周期点”出现顺序定理的一个特例。

此定义中，由于前两个极限说明子集的点X₁，X₂∈S相当分散而又相当集中，第三个极限说明子集不会趋于任意周期点，所以该定理本身只是预言有非周期轨道存在，而其中涉及的集合S的勒贝格测度有可能为零，因此混沌是不可观测的，但人们研究所关心的往往是可测集情形，即此时S有一个正的测度。

根据Li-Yorke定义，1983年Day认为一个混沌系统应具有如下3个特性：

1）存在所有阶的周期轨道。

2）存在一个不可数集合，该集合只含有混沌轨道且任意两个轨道既不趋向远离也不趋向接近，同时任意一条轨道不趋于任一轨道，即该集合不存在渐近周期轨道。

3）混沌轨道具有高度的不稳定性。

1989年Devaney给出了混沌的另外一种定义。

【Devaney定义】^[8]：设V是一个度量空间，一个连续映射f：V→V称为V上的混沌。如果：

1）f对初始条件的敏感依赖性。这意味着混沌映射具有长期不可预测性，如果初始条件发生极其微小的变化，在短时间内的结果还可以预测但通过长时间的变化后，它的状态根本无法确定，即所谓的“蝴蝶效应”。

2）f是拓扑传递的。它说明混沌系统是不能被细分或不能被分解为两个在f下相互影响的子系统，其轨道具有规律性的成分。

3）f的周期点在V中稠密，这说明混沌映射具有不可分解性，也即混沌系统具有稠密的周期轨道，其运动最终落在混沌吸引子之中，使其呈现出多种看似混乱无序却又颇具有规则的自相似结构（分形）。混沌吸引子中的运动能在一定范围内按其自身的规律遍历每一条轨道，既不自我重复又不自我交叉。

除了上述混沌定义之外，还有诸如Samle马蹄横截同宿点、拓扑混合及符号动力系统等定义，尽管如此，但关于混沌迄今仍没有一个公认的普遍适用的数学定义。因为从事不同领域研究的学者都是基于各自对混沌的理解研究并进行各自的应用。

1.1.3 混沌系统的判断方法

混沌属于非线性系统，但并不是指非线性系统就是混沌的。对于一般的非线性系统，现在通常由以下几种方法来定量和定性的刻画系统是否是混沌的[9]。

1.直接观测法

直接观测法是根据动力学系统的数值运算结果，画出相空间中相轨迹随时间的变化图，以及状态变量随时间的历程图。通过对比和分析来确定系统是否为混沌系统。在相空间中，周期运动对应于封闭曲线，而混沌运动则对应于一定区域内随机分离的永不封闭也不相交的轨迹（奇异吸引子）。利用这种方法可确定分叉点和普适常数。

2.分频采样法

对周期外力作用下的非线性振子，研究其倍周期分叉和混沌现象，可采用频闪采样法，该方法是试验物理学中闪烁采样法的推广。为避免复杂运动在相空间中轨迹的混乱不清，可以只限于观察一定时间间隔（称为采样周期）在相空间的代表点（称为采样点），这样原来在相空间的连续轨迹就被一系列离散点所代表。分频采样法目前是辨认长周期混沌带的最有效的方法。

3.庞加莱截面法

利用相图的方法可以简化复杂运动系统，但是对有些非常复杂的系统，研究其轨道是极其困难的。例如有些倍周期运动的周期倍数非常高，则其轨道看起来似乎可能很混乱，从轨道来看很难把其与非周期运动区分开来，这时就要用庞加莱截面方法来研究。它不仅容易区别周期和非周期，而且也能清楚地反映出动力系统在庞加莱截面上的相应结构。庞加莱截面法是在多维相空间中选取一个适当的截面，称为庞加莱截面。通过计算机画出庞加莱截面上的截点，然后观察截点的分布，从而可以判断出运动的性质。根据混沌研究结果表明：当庞加莱截面上是一封闭曲线时，运动是准周期的；当庞加莱截面上只有一个不动点或少数离散点时，运动是周期的；当庞加莱截面上是一些成片的密集点时，就是混沌运动。

4.空间重构法

重构相空间的轨线反映了系统状态的演化规律。定态对应一个点；周期运动对应有限的点；混沌运动则对应具有一定分布形式或结构的离散点。

5.Lyapunov指数法^[10]

Lyapunov（李雅普诺夫）指数是反映系统动力学特性的一个重要定量指标，是对非线性映射产生的运动轨道相互趋近或分离的整体效果进行的定量刻画。混沌运动的基本特点是运动对初始条件极为敏感，两个靠得很近的初值所产生的轨道随时间的推移按指数方式分离，Lyapunov指数就是定量描述这一现象的量。对混沌系统而言，正的Lyapunov指数表明轨道在每个局部都是不稳定的，相邻轨道按指数分离。但是由于吸引子的有界性，轨道不能分离到无限远处，所以只能在一个局限区域内反复折叠，但又永远互不相交。由此形成了混沌吸引子的特殊结构。同时，正的Lyapunov指数也表示相邻点信息量的丢失，其值越大，信息量丢失越严重，混沌程度越高。

Lyapunov指数是系统在相空间中相邻的两条轨道随时间的推移，按指数收敛或分离的平均变化率。设连续的自治系统：

式中，x∈Rⁿ，系统经过初始条件x₀的流在相空间中形成一条轨道x（t），如果初始条件有一个很小的偏差Δx₀，则由x₀+Δx₀出发会形成另一条轨道，它们形成一个切空间向量Δx（x₀，t），其欧氏模为Δx（x₀，t），令w（x₀，t）=Δx（x₀，t），则会满足

式中，，则当Δx（x₀，t）→0时，n维流的Lyapunov指数定义为

Lyapunov指数是系统相空间中相近轨道的平均收敛性或平均发散性的一种度量。如果Lyapunov指数λ为正，说明系统的相邻轨道是发散的，即系统是混沌的。如果λ=0，则表示系统处于临界状态。如果λ为负，则表示系统处于稳定状态，收敛于不动点或者是周期解。

通过以上介绍，可以发现，对于混沌系统，必须同时满足以下条件：①至少存在一个正的Lyapunov指数大于0，②至少存在一个Lyapunov指数小于0，③所有Lyapunov指数之和为负。其中第一个条件表明相空间在某一方向上相邻轨道是成指数分离的，这是混沌的主要特征。第二个条件说明了混沌系统的周期性。第三个条件则说明了系统在整体上的稳定性。通过以上分析可以知道，对于三维混沌系统，Lyapunov指数的符号只能为（+，-，0）这种情况。

关于Lyapunov指数计算的研究，也已经取得了显著的成果。目前，Lyapunov指数的计算方法有很多，但是总的来看，大致可分为两种情况，一种情况是只知道实验中观察到的一组数据，另一种情况是已知系统满足的微分方程或映射关系。在这两种情况下，人们计算Lapunov指数的方法不同。通过从实验观察到的数据，计算系统的Lyapunov指数，可采用Wolf方法、BBA方法等。其中Wolf方法仅适用于求取系统的最大Lyapunov指数，而BBA方法则可求出系统的Lya-punov指数谱。不过这些方法都对噪声敏感，于是人们提出了小波滤波变换法等改进算法。对于已知系统微分方程或映射关系的情况主要是利用系统的Jacobi（雅克比）矩阵方法计算，下面给出Lyapunov指数的计算。

1）对于一维映射：

x_n=f（x_n）

由于一维映射只有一个拉伸或压缩方向，因此可以考虑初值x₀和它的邻近值x₀+Δx，根据上述映射迭代一次后，这两点之间的距离为

经过n次迭代后，这两点之间的距离以指数分离，Lyapunov指数可以来度量这种分离性，如下所示：

或者写为

对于一维映射，只有一个Lapunov指数。因此，当LE由负变正时，表明系统的运动开始由稳定向混沌转变。

2）高维映射的Lyapunov指数计算，对于三维混沌方程

如果初始点（x₀，y₀，z₀）的偏差为（δx₀，δy₀，δz₀），则从初始点出发，利用式（1-1）逐次迭代得（x₁，y₁，z₁），（x₂，y₂，z₂），…，（x_n，y_n，z_n）。Jacobi矩阵为

前n个Jacobi矩阵分别为J₀，J₁，J₂，…，J_n-1。

如果上述Jacobi矩阵的特征值分别为λ₁，λ₂，λ₃，…，λ_n，则高维映射的n个Lyapunov指数分别为，，…，。

令，i=0，1，2，…，n，为矩阵J₀，J₁，J₂，…，J_n-1的特征向量，则有

对上式两边同时取模可得

由此可知高维映射的Lyapunov指数为

对于高维系统，如果具有两个或两个以上正的Lyapunov指数，则该系统就是超混沌系统。超混沌系统相对于一般的低维混沌系统具有更好的保密特性，在保密通信中有着更广泛的应用。关于Lyapunov指数的计算方法，目前还存在很多问题，比如精度不高、受噪声影响大、计算量太大、收敛速度慢、很难应用等。因此，如何能够既准确又快速地计算Lyapunov指数，仍然是研究者关注的重要问题。

1.1.4 几种典型的混沌系统

1.蔡氏电路

1983年，美国Berkeley大学的蔡少棠教授发明蔡氏电路（Chua’s Circuit），蔡氏电路因其简洁性和代表性而成为研究非线性电路中混沌的典范。（构造的）蔡氏电路是第一个真正能够用物理手段实现的混沌系统。蔡氏电路的原理图如图1-1所示。蔡氏电路由一个电感L，两个电容C₁、C₂，一个线性电阻R和一个分段线性电阻g（即蔡氏二极管）组成。然而，它确有丰富的动力学行为，包括各种分岔和混沌。

图1-1 蔡氏电路

蔡氏电路的数学模型可表示为

式中，f（V₁）=G₁V₁+0.5（G₀-G₁）（V₁+E-V₁-E）为蔡氏二极管的伏安特性函数，E为转折点电压。f（V₁）由3个分段线性函数组成，如图1-2所示。采用双运放和6个线性电阻构成，如图1-3所示。

对蔡氏电路归一化处理，令

图1-2 伏安特性曲线

图1-3 非线性电阻

得归一化方程：

式中，。当蔡氏电路选用参数α=10，β=14.87，a=-1.27，b=0.65时，用Matlab仿真，如图1-4所示，可观察到3个状态的混沌吸引子。

2.Lorenz系统^[11，12]

美国气象学家Lorenz通过对对流实验的研究，得到了第一个表现奇怪吸引子的连续动力系统，该系统描述了从水桶底部加热时，桶内液体的运动情况。加热时，底部的液体越来越热，并开始逐渐上升，产生对流，当提供足够的热量并保证不变时，对流便会以不规则湍流的方式运动。这个系统经过傅里叶分解、截断，并无量纲化，得到一个三维的常微分方程组。Lorenz系统的吸引子是迄今为止被研究得最为深入的吸引子，它无论从数学还是物理的角度来说都是值得详细地研究。Lorenz系统的数学模型为

式中，σ、μ、b为正实常数；x为对流的强度；y为上流和下流的温度差；z为温度分布的非线性度。

图1-4 蔡氏电路吸引子

下面简单介绍Lorenz系统的几个性质。

（1）静态分岔

首先讨论Lorenz系统的静态分岔，为此考虑平衡点所满足的方程为

从而易知：

1）μ<1时有唯一的平衡点o（0，0，0）；

2）μ>1时有三个平衡点o（0，0，0），p+（x₀，y₀，z₀），p-（-x₀，-y₀，z₀），其中，z0=μ^-1。

在o点处的Jacobi矩阵为

相应的特征方程为

（λ+b）[λ²+（σ+1）λ+σ（1-μ）]=0

故μ<1时，o（0，0，0）稳定；μ>1时o（0，0，0）是鞍点，不稳定。

对于两个平衡点p+、p-，它们的差别是变量x，y只差一个负号，而Lorenz方程中，将x，y分别变为-x，-y，方程不变，所以两个平衡点的稳定性相同，而这两个平衡点的Jacobi矩阵为

相应的特征方程为

λ³+（σ+b+1）λ²+b（_μ+σ）λ+2bσ（μ-1）=0

根据Hurwitz定理，当时，3个特征值都具有负实部，这里μ>1，且参数均为正数，故当（μ+σ）（σ+b+1）-σ（μ-1）>0时，p+、p-均为稳定的。这样可以得到μ=1时，产生叉式分岔。

（2）Hopf分岔

已经知道Hopf分岔是动态分岔，Hopf分岔是由于平衡点失稳产生的极限环，但是稳定性发生改变的地方，其特征值必须是纯虚根。平衡点o（0，0，0）在_μ=1处开始失稳，但当μ=1时，其特征方程没有纯虚根，因而o（0，0，0）点不会产生Hopf分岔，这样只能是由于p^+和p-的失稳来产生Hopf分岔。利用对称性只需对p^+分析。根据前面分析，p+失稳发生在

（μ+σ）（σ+b+1）-2σ（μ-1）=0

此时，显然σ≤b+1时，不会产生分岔，只有当σ>b+1时才有可能产生Hopf分岔。当μ=μ_h时，p^+的特征方程简化为

（λ+σ+b+1）[λ²+b（_μh+σ）]=0

除了一个负实根λ₁=-（σ+b+1）外，正好有一对共轭纯虚根λ₂，3=，而

因而得

即在μ_h的两端，p⁺稳定性发生改变，因而产生Hopf分岔。利用中心流形进行分析可知μ=μ_h时，Lorenz方程的平衡点p⁺是不稳定的，故Hopf分岔在μ<μ_h处发生，且分岔的极限环是不稳定的。

在MATLAB仿真软件中运用四阶龙格—库塔（Runge-Kutta）法对Lorenz系统进行仿真。Lorenz系统中的参数取值为σ=10，μ=28，b=8/3，仿真图如图1-5所示。

由图1-5a～d的运行结果可以看出，x轴显示的范围是-20～+20，y轴显示的范围是-30～+30，z轴显示的范围是0～+50，如果显示xy与xz乘积项的话，数值更大，xy乘积项近600，xz乘积项近1000。在电子线路中，电子元件的工作电压一般是-15～+15V，较好的线性工作范围是-10～+10V，因此，原始Lorenz方程的数值解是不能够使用常用的电路元件实现的，具体实现方法见本书第7章。

3.Chen系统

1999年，在美国休斯敦大学的陈关荣教授发现了一个新的混沌系统——Chen混沌系统，它是一个比Lorenz系统更复杂的混沌系统，该系统的数学模型为