2.4 动态空间旋转变换

动态光学研究的是光学系统运动中的成像规律，运动为系统的整体运动及系统中各元件与部件之间的相对运动。对几何参量来说，运动的位移可等效为平移和转动的合成。对系统的运动进行等效，并引入到光学成像系统中，可在动态变化中确定其物像的共轭关系。

2.4.1 矢量旋转关系式

研究矢量绕定轴旋转α角后变为（也代表了点绕定轴转动α角后的新位置A_m）。图2.26为示意图，为单位矢量，平面，为方便的旋转，可理解为矩阵平面OO′、AB绕旋转α角后为OO′、A_mB_m，则变为，显然：。

动态空间变换、矢量旋转关系式为：

将式（2-108）、式（2-109）和式（2-110）代入式（2-107）中，可得：

式（2-111）即为矢量旋转公式，代表了矢量绕轴转α角后变为，可证明当矢量为自由矢量时，式（2-111）依然成立。

2.4.2 旋转矩阵

矢量旋转公式中各量在一直角坐标系下表示时，公式可写为矩阵形式。在空间建立一直角坐标系oxyz，将矢量向三个坐标轴投影。

将式（2-112）、式（2-114）和式（2-115）代入式（2-111），可得：

记为：

式（2-115）中，S为旋转矩阵。

可证明S为单位正交矩阵，有：

旋转矩阵S，满足：

旋转矩阵S，满足：

式（2-119）中，为转轴矢量；为的转置矩阵。

P为反对称矩阵，也称转轴矩阵：