第一节 离散信号的傅里叶变换

一、定义

连续时间非周期信号的频域分析，是对其进行傅里叶变换，同样，离散时间非周期信号（采样信号）的频域分析，也可进行傅里叶变换。

设原信号为x（t），采样信号为x（n）=x（t）|_t=nT，则x（n）的傅里叶变换定义为

式（3-1）成立的前提条件是X（e^jω）绝对可和，即|X（e^jω）|＜∞。

因为

所以，|X（e^jω）|＜∞等价于

其傅里叶逆变换为

式（3-1）和式（3-2）组成了序列x（n）的傅里叶变换对。表3-1列举了一些常用序列的傅里叶变换，这里仅举几例说明。

例3-1 求单位采样序列δ（n）的傅里叶变换。

解：

例3-2 求指数序列aⁿu（n）的傅里叶变换，其中|a|＜1。

解：

二、性质

离散时间信号的傅里叶变换性质有很多，这里对它们作简单介绍，并归纳在表3-2中。

（一）周期性

X（e^jω）具有隐含的周期性，通过式（3-3）可以证明。

利用公式e^-j2πk=1，可证明X（e^jω）是关于ω=2πk的周期函数。通常对X（e^jω）的研究只取一个周期内的数据，把ω∈[-π，π]称作主值区间。

（二）线性性质

若序列x₁（n）和x₂（n）的傅里叶变换分别为X₁（e^jω）=FT[x₁（n）]和X₂（e^jω）=FT[x₂（n）]，则序列x（n）=ax₁（n）+bx₂（n）（a，b是任意常数）的傅里叶变换X（e^jω）等于a X₁（e^jω）+b X₂（e^jω），即

证明略。

（三）时间反转定理

若y（n）=x（-n），则y（n）的傅里叶变换为X（e^-jω），即

证明如下：

（四）时移定理

延时序列y（n）=x（n-n₀）的傅里叶变换为，n₀为整数，即

证明如下：

例3-3 求序列y（n）=aⁿu（n）-aⁿu（n-M）的傅里叶变换。

解：y（n）=aⁿu（n）-aⁿu（n-M）=aⁿu（n）-a^M·a^n-Mu（n-M）

查表3-1可知aⁿu（n）的傅里叶变换为，又由时移定理可得a^n-Mu（n-M）的傅里叶变换为。利用线性性质，y（n）的傅里叶变换为

（五）频移定理

序列的傅里叶变换为，即

证明方法可参考时移定理。

例3-4 设x（n）=cos（πn/2），y（n）=e^jπ/（4n）x（n），用MATLAB程序验证频移定理。

解：MATLAB参考程序如下：

运行结果如图3-1所示。

由图3-1中的幅度和相位图可知，y（n）的傅里叶变换相对于x（n）的傅里叶变换向右平移了π/4，由此证明了频移定理。

例3-5 求序列y（n）=（-1）ⁿaⁿu（n）的傅里叶变换，其中a＜1。

解：可将序列y（n）变形为y（n）=e^jπnx（n）的形式，其中x（n）=aⁿu（n）。由例3-2的结论，再根据频移定理，y（n）的傅里叶变换为

（六）频域微分定理

序列y（n）=nx（n）的傅里叶变换为，即

证明略。

例3-6 求序列y（n）=naⁿu（n）的傅里叶变换。

解：根据频域微分定理可得

（七）卷积定理

设y（n）=x₁（n）*x₂（n），则Y（e^jω）可表示成

证明：由卷积的定义可知：

对上式两边进行傅里叶变换，得

将k=n-m代入上式，得

（八）调制定理

设y（n）=x₁（n）·x₂（n），则Y（e^jω）可表示成

证明略。

（九）帕塞瓦尔定理

证明略。

（十）对称性

在学习对称性之前，先介绍共轭对称序列和共轭反对称序列的定义。

设序列x_e（n）满足下列表达式：

x _e（n）称作共轭对称序列。如果将其写成实部与虚部相加的形式，即

将式（3-13）中的n用-n代替，并取共轭，得

将式（3-13）和式（3-14）代入式（3-12）中，得

以上两式表明，共轭对称序列的实部为偶函数，虚部为奇函数。类似地，可得出共轭反对称序列[用x_o（n）表示]的定义及性质。

满足式（3-17）的序列称为共轭反对称序列。式（3-18）和式（3-19）表明，共轭反对称序列的实部为奇函数，虚部为偶函数，这与共轭对称序列正好相反。

下面研究一般序列与共轭对称序列和共轭反对称序列之间的关系。

1.将序列写成共轭对称部分和共轭反对称部分相加的形式

一个序列通常可用共轭对称序列与共轭反对称序列之和表示，即

将式（3-20）中的n用-n代替，并取共轭，得到

对照式（3-20）与式（3-21），有

将式（3-22）和式（3-23）分别进行傅里叶变换得

式中，X（e^jω）为序列x（n）的傅里叶变换；X_R（e^jω）和X_I（e^jω）分别为X（e^jω）的实部和虚部。

式（3-24）和式（3-25）说明，如果一个序列写成共轭对称和反对称部分相加的形式，则共轭对称部分的傅里叶变换为原来序列傅里叶变换的实部，共轭反对称部分的傅里叶变换为原来序列傅里叶变换的虚部乘以j。

2.将序列写成实部和虚部相加的形式

如果将序列x（n）写成x（n）=x_r（n）+jx_i（n）的形式，实部和虚部的傅里叶变换分别为

可以证明式（3-26）具有共轭对称的性质，式（3-27）具有共轭反对称的性质，参照时域的共轭对称性，定义

式（3-28）和式（3-29）说明，如果一个序列写成实部和虚部相加的形式，则其实部的傅里叶变换X_e（e^jω）具有共轭对称的性质，虚部与j相乘的傅里叶变换X_o（e^jω）具有共轭反对称的性质。

例3-7 设x（n）=sin（πn/2），-5≤n≤10，用MATLAB程序验证该实序列的对称性质。

解：MATLAB参考脚本如下：

运行结果如图3-2所示。

由图3-2可看出，如果将序列x（n）写成共轭对称部分和反对称部分相加，其共轭对称部分的傅里叶变换（见图3-2c）等于x（n）的傅里叶变换的实部（见图3-2a），用Re（X）表示。其共轭反对称部分的傅里叶变换（见图3-2d）等于x（n）的傅里叶变换的虚部（见图3-2b），用Im（X）表示。