4　数字谜题　覆面算和虫蚀算

这是一则源于古希腊的神话传说。

天后赫拉的侍女不小心毁坏了天帝宙斯的玉杯，赫拉为了惩罚她，对这个侍女发出了诅咒：“你从此只能重复别人说过的话，除非我重复了你的话！”

智慧女神雅典娜对侍女的不幸遭遇非常同情，她带着侍女去神庙外面数一堆苹果，雅典娜说：“267个。”侍女重复道：“267个。”

雅典娜用神力运来267267个苹果，觐见赫拉。雅典娜说：“尊敬的母后，这些苹果我要分给姐姐、弟弟和妹妹，最后的一份将奉献给您。”

她将苹果先等分成7份，将其中的6份分给了姐姐们；接着，她将剩下的苹果再等分成11份，又将其中的10份分给了弟弟们；接着，她将剩下的苹果又等分为13份，将其中的12份分给了妹妹们。

雅典娜将最后留下的一份奉献给赫拉，说：“这是奉献给您的苹果，但我不知道有多少个。”赫拉满心欢喜地数着苹果，当数到最后一个苹果，赫拉大声地报数：“267个！”

惩罚侍女的咒语解除了。

智慧女神雅典娜是如何做到让赫拉重复侍女的话？

注意到7×11×13=1001，并且有下面的恒等式成立，聪明的雅典娜利用了1001作为除数的运算性质。

充分利用加减乘除的特殊运算性质，可以设计出各式各样的神奇的数字谜。数字谜是算术中非常有趣的一类题目，数字谜有助于提高大脑的推理能力和发散性思维。

例题4.1　文字类的数字谜也称为覆面算，表示算式中的数字被文字或字母覆盖了。覆面算的特点是不同的文字或字母代表了0~9不同的数字。下面就是一道文字覆面算，请找出乘式中汉字所对应的数字，使竖式成立：

根据题意：“我”“题”“学”“数”不等于零，“题”不等于1。

不妨从“数”入手。因为“我”“题”“数”三数互不相同，可以验证：“数”不是1，也不是2、3、4、5、7、9。

（1）假设“数”等于6，“题”只能取值2或3，验证如下：

666666÷2=333333

666666÷3=222222

不符合条件。

（2）假设“数”等于8，得到答案。

例题4.2　下面是一道字母覆面算。请解出乘式中的五个字母的数字，使竖式成立：

数字谜题目常见的突破口：（1）观察算式的首位和末位，分析进位；（2）观察算式中数的位数，利用位数的变化进行估值；（3）选择算式中出现多次的字母或汉字为突破口。

找到突破口后，再利用穷举法分类讨论，获取更有价值的信息。

本题中，通过位数分析：A=1或A=2，否则，A>2，ABCDE×4会成为六位数。

假设A=1，则E×4个位上的数将为1，找不到符合条件的E，此假设不成立。

所以，A=2。E×4个位上的数为2，并且E≥4×A=8，得到E=8。

A=2，E=8，这说明B×4的积在千位上没有进位，因此，B=1或2。

D×4+3个位数是奇数，即B=1。D×4的个位数是8，这样，排除D=2的可能性后，得到D=7。

C可以选择的数字有3、5、6、9，直接验证即可。

例题4.3　如图4-1所示，这是日本的《精要算法》中的一道被称为“唯一的8”的虫蚀算题目，你能恢复方框中的数字吗？

虫蚀算就是指打方框的地方都被虫蚀而损缺，需要应用代数和四则运算的技巧予以恢复。这类题目的特点是方框内是0~9的数字，并不限于有唯一解，只要能找到一组解，就可以认为解题成功。

为了描述方便，如图4-2所示，对虫蚀算乘式中的方框进行编码，每个符号都代表了一个数字。

A行的是三位数，得到a₁=1。

而为四位数，得到b>8，显然b=9。

因为a₁=1，则d₁≥a₁×8=8。

又因为c₁+d₁=e₁<10，所以，d₁=8，c₁=1，e₁=9。

如图4-3所示，假设a₂≥2，的百位数将是9，矛盾，因此a₂=1。

继续推算，得出a₃=2，理由如下：

（1）如果a₃<2，即a₃=0或a₃=1，那么，有110×9=990，111×9=999，全部是三位数，不符合题意。

（2）如果a₃>2，例如a₃=3，那么，113×8=904，这与前面d₁=8矛盾。

至此，这道虫蚀算恢复成功。

例题4.4　在二十世纪初，始于东方的虫蚀算流传到了西方，在欧洲也成为趣味数学界的热门话题。如图4-4所示，这是虫蚀算大师奥德林先生精心制造的被称为“孤独的7”的习题。你能做出来吗？

如图4-5所示，对虫蚀算除式中的方框进行编码，每一个符号都代表着一个数字。其中：被除数为，除数是，除式的商是。

（1）是三位数，说明b₁=1。否则，b₁>1，则导致是四位数。

（2）根据除式运算的规则，有a₃=0。

（3）注意观察F行和G行，有一个黄金倒三角，f₁=1，f₂=0，g₁=9。

（4）是四位数，说明a₁仅限于8或者9。是三位数，说明a₂也限于8或者9，这样，可以推导出以下结论：a₁=9，a₂=8。

（5）因为是四位数，所以，a₄=9。

（6）根据上面的分析，可以推导出c₁=1，h₁=1。这时，虫蚀算除式的恢复情况如图4-6所示。

分析b₂的取值情况。显然，b₂<3，否则，将成为四位数，不符合题意。

同时，b₂≠0，否则即使b₃取最大值9，有109×9=981是三位数，不符合题意。

因此，有b₂=1或2。

（7）假设b₂=1。

因为是四位数，所以b₃≠0且b₃≠1。

再假设b₃=9，那么119×97809=11639271，再反向验算除法竖式11639271÷119的情况，注意F行对应的位置，与题意不符。

同理，b₃分别取值2到8，均可推导出与题意不符的情况。

因此，b₂≠1。

（8）综合以上的分析，得到b₂=2。

因为125×8=1000，所以得出b₃<5。也就是说，b₃=4或3或2或1或0。分别代入到除式中进行验证。

结论：b₃=4，如图4-7所示，本题为唯一解。