3　自然的魔法　神奇的斐波那契数列

在小说《达·芬奇密码》中，作者丹·布朗描写了法国巴黎卢浮宫博物馆馆长雅克·索尼埃被暗杀的案件，雅克·索尼埃临死前留下了由8个数组成的序列，这个序列涉及神奇的斐波那契数列，成为整部小说中的关键线索。

斐波那契（1175—1250）是意大利数学家。年轻的斐波那契认为使用阿拉伯数字比使用罗马数字更有效，便前往地中海一带向著名的阿拉伯数学家求学，约在1200年回到意大利。

1202年，27岁的斐波那契将其所学写进了《计算之书》。在《计算之书》中，斐波那契提出了关于兔子繁殖的著名问题。

假设一对成年兔子每个月可以生下一对小兔子（一雌一雄）。在年初时，只有一对刚出生的小兔子，小兔子经过一个月的生长，在第一个月结束后成为成年兔子，并且在下一个月内生下一对小兔子。这种成长和繁殖的过程会一直延续下去，并且这个过程中不会有兔子死亡。那么，第一年结束时，将有多少对兔子？

兔子繁殖的过程可以通过图3-1的“兔子繁殖树”来表示。从图中可见：一对未成年小兔子要生长到下一个月才成年，而一对成年兔子会在下一个月再生下一对小兔子，……，如此往复。

如果用a_n表示n个月的兔子的对数，可以看出，兔子出生遵循下面的基本斐波那契等式：

a_n+2=a_n+1+a_n　n=1,2,…

每个月兔子的总对数形成表3-1中的数列，第12个月结束前将拥有144对兔子。

想一想，如果将基本斐波那契数列的各项加起来会如何？

这些斐波那契数相加的结果也组成了一个新的序列，只要将它们排列在基本斐波那契数列的下面，并且加一个适当错位：

斐波那契数列　1　1　2　3　5　8　13　21　34　55　89　…

各项和数列　　　　2　4　7　12　20　33　54　88　…

仔细观察会发现：a₁+a₂+…+a_n=a_n+2-1

斐波那契数列平方和也很有趣。如图3-2所示，可以直接观察到如下的关系式：

斐波那契数在自然界中随处可见，大部分植物的花，其花瓣都是斐波那契数。例如，兰花、茉莉花、百合花有3个花瓣，毛茛属的植物有5个花瓣，翠雀属植物有8个花瓣，万寿菊属植物有13个花瓣，紫菀属植物有21个花瓣，而雏菊属植物有34、55或者89个花瓣。

例题3.1　育新学校的教学楼大厅从一楼到二楼有9级台阶，一次可以走上一级台阶或者跨上两级台阶。请问：从一楼走到二楼一共有多少种走法？

记n级台阶时的走法数量为F_n，如图3-3所示。

当楼梯只有1级台阶时，走法数量为F₁=1；

当楼梯有2级台阶时，走法数量为F₂=2；

当楼梯有3级台阶时，走法数量为F₃=3；

当楼梯有4级台阶时，走法数量为F₄=5；

……

因为可以一次登上一级台阶或者两级台阶，有

F_n=F_n-1+F_n-2

上楼梯的走法数量为{F_n}={1,2,3,5,8,13,21,34,55,…}，构成斐波那契数列。因此，当从一楼到二楼有9级台阶时，共有55种不同的走法。

例题3.2　一只蜜蜂从蜂房A出发，想爬到1、2、3、…、n号蜂房（如图3-4所示），只允许蜜蜂自左向右爬，不允许反方向爬。那么，蜜蜂爬到每个蜂房的路线数是多少？

如图3-5所示，假设进入第n个蜂房有a_n条路线，进入到n+1号蜂房只能从n-1号和n号蜂房进入，所以，有下面的关系式成立：

an+1=an+an-1

1号蜂房只能由A号蜂房进入，路线数为1；2号蜂房可以从A号和1号蜂房进入，路线数为2；3号蜂房可以从1号和2号蜂房进入，路线数为3；4号蜂房可以从2号和3号蜂房进入，路线数为5；……，依此类推。

这样，每个蜂房的路线数为{a_n}={1,2,3,5,8,13,…}，构成斐波那契数列。

例题3.3　桌子上有13颗围棋子，两个人进行取子比赛，看谁能拿到最后一颗棋子。规则如下：（1）甲先取棋子，且第一次不能取走全部的棋子；（2）其后，乙和甲轮流取棋子，每次至少取走一颗棋子，并且不能超过对方前一次取走棋子数目的两倍。请分析一下两方输赢的情况。

按题意，后取子的人只要策略适当，一定能赢。本题中，后取子的为乙，他的胜算策略如下：

记{F_n}={2,3,5,8,13}是斐波那契数列中的5项。

（1）假设桌子上有F₁=2颗棋子。

根据题意，甲先取子，且只能取走1颗，乙直接取走剩下的棋子，乙胜。

（2）假设桌子上有F₂=3颗棋子。

根据题意，若甲先取走1颗棋子，乙直接取走2颗棋子，乙胜；

若甲先取走2颗棋子，乙直接取走1颗棋子，乙胜。

（3）假设桌子上有F₃=5颗棋子。

若甲先取走1颗棋子，乙方再取时只取走1颗，还原为F₂=3时的情况，乙胜；

若甲先取走2颗棋子，5-2=3<4，乙可以一次取走余下的3颗棋子，乙胜。

（4）假设桌子上有F₄=8颗棋子。

根据题意，若甲取走1颗棋子，乙就取走2颗棋子，这样，就还原为F₃=5颗棋子的情况，乙胜；

若甲取走2颗棋子，乙就取走1颗棋子，同样还原为F₃=5颗棋子的情况，乙胜；

若甲取走3颗或3颗以上的棋子，乙就取走剩下的全部棋子，乙胜。

（5）假设桌子上F₅=13颗棋子。

根据题意，若甲取走1颗棋子，乙也取1颗棋子，这时，甲无论取1颗还是2颗棋子，乙方只要将余下的棋子数变成8颗，就还原为F₄=8的情况，乙胜；

若甲取走2颗棋子，乙再取3颗棋子，还原为F₄=8的情况，乙胜；

若甲取走3颗棋子，乙再取2颗棋子，还原为F₄=8的情况，乙胜；

若甲取走4颗棋子，乙再取1颗棋子，还原为F₄=8的情况，乙胜；

若甲取走5颗及5颗以上的棋子，乙直接取走剩下的全部棋子，乙胜。

综合以上的分析，只要策略得当，乙必胜。

例题3.4　有一根20厘米长的木棍，要求截取成n（n>2）段，每一段的长度不少于1厘米，并且其中任意的三段都不能拼成三角形。那么，最多能截取多少段？

3段木棍拼成三角形的条件是其中任意两段长度之和都大于第三段，不能构成三角形的条件就是两段较短的木棍长度之和等于或者小于较长的一段。

按题意，截取木棍最短的长度是1厘米，可以先截取两段1厘米的木棍，两段长度之和为1+1=2（厘米）。

这样，第三段木棍的长度要大于或等于2厘米，为了截取最多的段数，取最小数2厘米，则剩下的木棍长度为16厘米；

依此类推，第四段木棍的长度为1+2=3（厘米），剩下的木棍长度为13厘米；

第五段木棍的长度为2+3=5（厘米），这时，剩下的第六段木棍的长度恰好为3+5=8（厘米）。

结论：最多截取6段，各段木棍的长度分别是1厘米、1厘米、2厘米、3厘米、5厘米、8厘米。