1.6　静电场

单项选择题（下列选项中，只有一项符合题意）

1．在真空中，电荷体密度为的电荷均匀分布在半径为a的整个球体积中，则在球体中心处的电场强度E为（　　）。（设球内的介电常数为）[2014年真题]

A．

B．0

C．

D．

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【答案】B

【解析】在球体外，点P的电场强度为：，正电荷时方向为由球心到点P指向球外，负电荷时指向球内。在球体内，点P的电场强度为：。所以当处于球心时，r=0，故点P的电场强度为0。（注意球体和球面电场分布的区别）

2．在真空中，一导体平面中的某点处电场强度为，此点的电荷面密度为（　　）。（单位为10^-12C／m²，设该点的场强与导体表面外法线向量一致）[2014年真题]

A．-0.65

B．0.65

C．-11.24

D．11.24

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【答案】D

【解析】由题可知，场强的模为：，则该点的电荷面密度为：

。

3．在无限大真空中，有一半径为的导体球，离球心d（）处有一点电荷q ，该导体球的电位应为下列哪项数值？（　　）[2013年真题]

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】由高斯定理求得电场强度表达式为：，则导体球距离电荷距离为d的电位：

，由于导体球处于点电荷q的静电场中，自身为等电位体，所以导体球的电位为。

4．一无损耗同轴电缆，其内导体的半径，外导体的内半径为b，内外导体间媒质的磁导率为，介电常数为，该同轴电缆单位长度的外电感应为下列哪项数值？（　  ）[2013年真题]

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】设内外导体流动的电流为I，由安培环路定律可得磁感应强度为：，故内外导体间单位长度的外自感为：。

该题也可直接代入同轴电缆的单位长度电感计算公式直接计算：（其中r₂为外导体内半径，r₁为内导体半径）。

5．两半径为a和b（a<b）的同心导体球面间电压为V，若b固定，要使半径为a的球面上场强最小，应取比值为（　 ）。[2005年、2008年、2011年真题]

A．1/2

B．1/4

C．1/e

D．1/

【答案】A

【解析】同心导体球之间的电场分布呈辐射对称状，设内导体球所带电荷量为Q，根据高斯公式，，球壳之间的电压：，则：，令

，将b视为常数，对a求导数，，则当时电场强度取得最小值。

6．一高压同轴圆柱电缆，内导体的半径为a，外导体的内半径为b，若b固定，要使内导体表面上场强最小，a与b的比值应该是（　 ）。[2009年、2010年真题]

A．1/e

B．1/2

C．1/4

D．1/8

【答案】A

【解析】在忽略边缘效应的圆柱形电缆中，电场分布是柱对称的。设τ为同轴电缆单位长度的电荷量，根据高斯定理可知，内外柱面间的场强为：，则内外导体间的电压为：，则，

，令，将b视为常数，求关于a的导数：，则当时，内导体表面场强最小。

7．在一个圆柱形电容器中，置有两层同轴的绝缘体，其内导体的半径为3cm，外导体的内半径为12cm，内、外两绝缘层的厚度分别为3cm和6cm，内、外导体间的电压为270V（以外导体为电位参考点）。设有一很薄的金属圆柱片放在两层绝缘体之间，为了使两绝缘体内的最大场强相等，金属圆柱片的电位为（　　）。[2009年真题]

A．60V

B．90V

C．150V

D．l80V

【答案】D

【解析】如图1-6-1所示，设内层介质介电常数为，外层介质介电常数为，圆柱导体单位长度的电荷量为，电介质中电场强度的最大值出现在内导体表面上，所以内层介质最大场强出现在半径为3cm处，外层介质最大场强出现在半径为6cm处。

则有：E=，由此可知，=2。所以：

内外导体电位差为：，

金属圆柱片的电位为：。

图1-6-1

8．在一个圆柱形电容器中，置有两层同轴的圆柱体，其内导体的半径为2cm，外导体的内半径为8cm，内外两绝缘层的厚度分别为2cm和4cm，内外导体间的电压为150V（以外导体为电位参考点）。设有一根薄的金属圆柱片放在两层绝缘体之间，为了使两层绝缘体内的最大场强相等，金属圆柱片的电位应为（　　）。[2007年真题]

A．100V

B．250V

C．667V

D．360V

【答案】A

【解析】方法一：设内层介质介电常数为ε₁，外层介质介电常数为ε₂，圆柱体的单位长度电荷量为τ。由高斯公式可得，内外层绝缘体的电场强度分别为：，。内层介质最大场强出现在r₁=2cm处，外层介质最大场强出现在r₂=4cm处，要使两层介质最大场强相等，则有：，由此可知：

，所以金属圆柱的电位：。

方法二：如图1-6-2所示，设金属圆柱片的电位为φ（电位参考点取在外导体上），则有：。

由于内导体与金属圆柱片间的电压为：，由题知内外导体间的电压为150V，则有，即：。联立式以上方程可得：，。

由于，，所示最大电场强度出现在r=a时，有：；当r=b时，有：

。欲使=，则：=。

由以上计算结果可得：，所以：，可得金属圆柱片的电位为：φ=100V。

图1-6-2

9．一高压同轴圆柱电缆，内导体的半径为a，外导体的内半径为b，若b固定，要使内导体表面上场强最小，b与a的比值应该是下列何值（　　）。[2007年真题]

A．e

B．2

C．4

D．3

【答案】A

【解析】设τ为同轴电缆单位长度的带电量，根据高斯定理可知内外导体之间的电压为：，则：。已知内导体表面场强：，令：，对a求偏导数，。

10．在真空中，相距为的两无限大均匀带电平板，面电荷密度分别为＋σ和-σ，该两带电平板间的电位U应为下列哪项数值？（　  ）[2013年真题]

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】设板A在两板间产生的场强大小为E₁，根据其对称性，其在两板外产生的场强亦为E₁，方向相反。对板A取一截面积为s的圆柱形高斯面，根据静电场的高斯定理：，又：，解得：。

同理设板B在两板间产生的场强大小为，可得：。E1、E2方向相反，故合场强为：，方向由B指向A，故两板间电势差为：。

11．一高压同心圆球，外导体的半径为b，内导体的半径为a，其值可以自由选定。若b固定，要使半径为a的内导体表面上场强最小，b与a的比值应该是（　　）。[2012年真题]

A．e

B．2

C．3

D．4

【答案】B

【解析】同心导体球之间的电场分布呈辐射对称状，设内导体球所带电荷量为Q，根据高斯公式，

，则:，令

，b固定，对a求偏导数，，则当时电场强度取得最小值。

12．无限大真空中一半径为a的带电导体球，所带体电荷在球内均匀分布，体电荷总量为q。球外（即r>a处）任一点r处的电场强度的大小E为（　　）V/m。[2011年真题]

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】根据高斯定理，带电金属球在无限大均匀介质中产生的电场呈辐射对称状，半径为r的球面上电场强度大小相等，其值为：。

13．一半径为R的半球形金属球，置于真空中的一无限大接地导电平板上方，在球外有一点电荷q，位置如图1-6-3所示。在用镜像法计算点电荷q受力时，需放置镜像电荷的数目为（　　）。[2008年真题]

A．4个

B．3个

C．2个

D．无限多

图1-6-3

【答案】B

【解析】设电荷q和导体平面法线所在的平面为xz平面，如图1-6-4所示。

图1-6-4

先作电荷q对导体平面xz平面的镜像电荷－q（－x，0，－z），再作q对球面的镜像电荷:

。

最后作镜像电荷对xy平面的镜像。由电荷q、－q、和组成点电荷系统可以使原问题的边界条件得到满足，导体外任意点的场可以由这4个点电荷共同确定。因此，在用镜像法计算点电荷q受力时，需放置镜像电荷的数目为3个。

14．平板电容器，保持板上电荷量不变，充电后切断电源。当板间距离变为2d时，两板间的力为（　　）。[2012年真题]

A．F

B．F／2

C．F／4

D．F／8

【答案】A

【解析】设平板电容器变化前充电至电压U，当板间距为d时，电容

，两板间的力:。当板间距变为2d时，电压变为:

，两板间的力:，未发生改变。

15．以点电荷Q所在点为球心，距点电荷Q的距离R处的电场强度E=（　　）。

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】根据高斯定理，静电场对任意封闭曲面的电通量只决定于被包围在该曲面内部的电量，。

16．图1-6-5所示，给平行板电容器加电压V₀，其极板上所受的电场力为（　  ）。

A．

B．

C．

D．

图1-6-5

【答案】A

【解析】电容器储存的电场能量为：，利用虚位移法计算电场能对d的变化率即得极板受力：（式中负号表明两极板彼此相吸引，力图使距离减小）。

17．两个平行带电平板，每个平板的面积为S，相距d，且d＜S，两板间填充介电系数为ε的介质。这两个带电平板间的电容量是（　　）。

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】当平板的尺寸远大于它们的间距时，两平板之间的电压为：，极板上所带电荷量：q=S，则电容为：。

18．图1-6-6中平板电容器的上部空间填充介电系数为ε₀的介质，所对应的极板面积为S₀，下部介质的介电系数为ε₁，所对应的极板面积为S₁，极板的间距为d，该电容器的电容量是（　  ）。

A．

B．

C．

D．

图1-6-6

【答案】B

【解析】极板上下两部分可看成两个彼此相并联的电容，根据电容的并联公式有：C=C₀＋C₁=＋。

19．图1-6-7中电容器极板间的距离为d，极板面积为S，ε₀、ε₁介质厚度为d/2，则该电容器的电容应为（　　）。

A．

B．

C．

D．

图1-6-7

【答案】C

【解析】两介质交界面是等电位面，所以左右两部分可看成两个电容相串联，其中C₀=，C₁=，则：

C=

　  =